Fattore di moltiplicazione

Il fattore di moltiplicazione e la sua dipendenza dal voltaggio applicato possono essere collegati tramite espressioni analitiche semiempiriche.

Nel caso in cui gli effetti di carica spaziale siano trascurabili, la carica raccolta dovuta a n₀ coppie ione/elettrone primarie é:

Q = n$_0 \times$ e$\times$ M

Nell'ipotesi semplificata che il processo moltiplicativo sia esclusivamente collisionale, che non ci siano perdite di elettroni per formazioni di ioni negativi e che siano trascurabili gli effetti di carica spaziale, considerando l'equazione di Townsend (3.1) si può scrivere

$$ln(M) = \int_a ^{r_c} \alpha(r) dr$$

Quindi l'integrazione viene calcolata da a ad r_c, dove avviene la moltiplicazione. $\alpha$ é funzione sia del tipo di gas in uso che dell'intensità del campo elettrico. Riscrivendo in termini di campo elettrico

$$ln(M) = \int_{\varepsilon(a)} ^{\varepsilon(r_c)} \alpha(\varepsilon) \frac{\partial r}{\partial \varepsilon} d\varepsilon$$

Nel caso di una geometria cilindrica, già introdotta,

$$ln(M) = \frac{V}{ln(\frac{b}{a})} \times \int_{\varepsilon(a... ...pha(\varepsilon)}{\varepsilon} \frac{d\varepsilon}{\varepsilon}$$

La soluzione di questa equazione dipende dalla forma funzionale assunta per $\alpha(\varepsilon)$. Se questa é una relazione lineare, si può arrivare alla seguente relazione:

$$ln(M) = \frac{V}{ln(\frac{b}{a})} \times \frac{ln(2)}{\Delta... ...t( ln\frac{V}{p\times a\times ln(\frac{b}{a})} - ln(K) \right)$$

dove M é il fattore di moltiplicazione, V é il voltaggio applicato, a é il raggio dell'anodo, b é il raggio del catodo e p é la pressione del gas. Inoltre $\Delta V$ é la differenza di potenziale attraverso la quale si muove un elettrone fra collisioni successive e K rappresenta il valore limite di $\frac{\varepsilon}{p}$ al di sotto del quale non avviene moltiplicazione.