Risoluzione energetica

La carica complessiva raccolta nel rivelatore é il risultato della moltiplicazione in cascata dei singoli elettroni prodotti dal processo di ionizzazione primario (dal fotone X che ha interagito con il gas del rivelatore). Se gli elettroni primari prodotti sono n₀, ci saranno n₀ moltiplicazioni in cascata. Assumendo che A_i sia il fattore di moltiplicazione dell'elettrone i-esimo, indichiamo con M il valor medio dei fattori di moltiplicazione.

$$M = \frac{1}{n_0} \sum_{i=1}^{n_0} A_i$$

L'ampiezza dell'impulso ottenuto dal rivelatore é proporzionale alla carica raccolta dopo la moltiplicazione $Q=n_0 \times e \times M$. Sia n₀ che M hanno fluttuazioni intrinseche e, potendole considerare quantità indipendenti, la varianza relativa attesa per Q é

$$\left(\frac{\sigma_Q}{Q}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_{n_0}}{{n_0}}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_M}{M}\right)^2$$

Riscrivendo il secondo termine che rappresenta la varianza di M in termini della varianza di moltiplicazione del singolo elettrone A,

$$\sigma_M ^2 = \left( \frac{1}{n_0}\right)^2 \sum_{i=1}^{n_0} \sigma_A ^2 = \frac{1}{n_0} \sigma_A ^2$$

La varianza nel numero di coppie ione/elettrone viene espressa in termini di fattore di Fano

$$\sigma_{n_0} ^2 = F \times n_0$$

Questo fattore correttivo assume valori fra 0.05 e 0.2 nei gas.

Il secondo termine che contribuisce alla varianza di Q rappresenta il contributo delle fluttuazioni nella moltiplicazione a cascata di un singolo elettrone.

Nel caso ideale, nel quale la probabilità di ionizzazione del singolo elettrone dipenda solo dall'intensità del campo elettrico e sia indipendente dalla sua storia precedente, si ottiene una varianza relativa

$$\left( \frac{\sigma_A}{A} \right)^2 = 1$$

Nel caso in cui i campi elettrici siano particolarmente intensi la probabilità di ionizzazione da parte di un elettrone non può più considerarsi indipendente dalla sua storia precedente. In questo caso, nel limite di grandi A

$$\left( \frac{\sigma_A}{A} \right)^2 \simeq b$$

dove i valori tipici di b sono 0.4-0.7

Quindi

$$\left(\frac{\sigma_Q}{Q}\right)^2 = \frac{F}{n_0} + \frac{b}{n_0}$$

ed infine, assumendo che $n_0 = \frac{\epsilon}{W}$, dove $\epsilon$é l'energia depositata dal fotone che ha interagito con il gas e W é l'energia richiesta per la creazione di una coppia ione/elettrone

$$\left(\frac{\sigma_Q}{Q}\right) = \left( \frac{W i\times (F ... ...\frac{1}{2}} = \left( \frac{C}{\epsilon} \right) ^{\frac{1}{2}}$$

C può essere assunta costante per un determinato gas. Ad esempio per Argon puro, W=21.5 eV per coppia, F=0.17, b=0.50